I mille volti della matematica di Domenica Margarone Lo scorso settembre è stata inaugurata presso il Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci" di Milano una mostra molto particolare: Matemilano, percorsi matematici in città. La sua particolarità sta innanzi tutto nel fatto che non capita spesso di visitare mostre che riguardano la matematica e poi nel ruolo che Matemilano ha assegnato alla matematica. La mostra, che rimarrà aperta fino al 14 gennaio 2004, progettata e realizzata dal Dipartimento di Matematica "F. Enriques" dell' Università degli Studi di Milano, promuove infatti una matematica intesa come strumento culturale per leggere il territorio. Matemilano non fa matematica (almeno non direttamente) e non è pensata per imparare matematica, ma cerca piuttosto di cogliere la matematica nelle suggestioni e nelle indicazioni che gli oggetti che accompagnano la nostra quotidianità ; possono suggerirci. La mostra aiuta cioè a vedere la matematica in posti anche impensabili in cui noi, pur guardando spesso, non riusciamo a scorgerla. Ecco allora che Milano, con la sua mappa, la sua struttura, la sua morfologia urbana, i suoi edifici, le sue opere d'arte, fornisce occasioni stimolanti per affrontare questioni di matematica ad essa collegate e per scoprire geometrie e numeri che vi si nascondono e in questo senso Matemilano rappresenta un prototipo esportabile. Essa è stata infatti concepita come una mostra interattiva itinerante, che può essere allestita adattandola ad altre città e di cui Milano costituisce solo la prima tappa. Ogni città, col suo impianto urbano, la sua architettura e il suo paesaggio, offre infatti spunti diversi per una lettura dell'ambiente in chiave matematica. Matemilano punta a catturare l'interesse verso la cultura scientifica non solo della scuola, ma anche delle famiglie e della società. Il percorso espositivo, che ospita pure alcune interessanti opere di artisti contemporanei, è fatto di giochi, modelli interattivi, immagini, testi, multimedia, dispone cioè di strumenti e linguaggi che lo rendono fruibile a visitatori di tutte le età. Con questa iniziativa l'Università Statale di Milano contribuisce in modo encomiabile a far percepire la "vicinanza" della matematica e a rimuovere così una delle cause dell'allontanamento di molti, dentro e fuori la scuola, da una materia generalmente considerata poco utile e molto difficile. La mostra si articola in cinque sezioni, una che raccoglie i contributi di alcuni artisti e professionisti milanesi che spiegano come la matematica interviene nella loro attività, mentre le altre ruotano intorno a quattro aree tematiche: "massimi e minimi", " visualizzazione", "topologia" e "simmetria". Durante il periodo di apertura sono anche previste conferenze in linea con lo spirito della mostra, che rientra fra gli eventi culturali programmati dal Museo Leonardo da Vinci nel corso del 2003, in occasione del cinquantesimo anno di attività. Una mostra per tutti Immaginiamo di esplorare il percorso espositivo soffermandoci su alcuni temi proposti in ciascuna delle sezioni, con la curiosità di scoprire quali legami possono esserci fra la matematica e l'antica mappa di Milano o il pavimento e le vetrate del Duomo o i tre anelli nello stemma della famiglia Borromeo. Lo facciamo con la piena consapevolezza dei limiti di una descrizione fatta solo di parole e immagini, riduttiva rispetto alla forza persuasiva esercitata sul visitatore dai vari strumenti, interattivi e non, presenti alla mostra e ideati per fare, per pensare e per capire. Ad esempio il fatto che le antiche città situate, come Milano, in zone pianeggianti presentano cinta murarie di forma circolare trova una possibile interpretazione nella proprietà del cerchio di essere, fra tutte le possibili forme di perimetro assegnato, quella di area massima. Questo si traduce per una città nella possibilità di contenere il maggior numero di edifici, e quindi di abitanti, con la minima lunghezza di mura da difendere in caso di attacco nemico. Una prova sperimentale di tale proprietà si può realizzare tentando di disporre all'interno di una superficie delimitata da un nastro flessibile (perimetro assegnato) il maggior numero di palline colorate (area massima). Si verifica così in modo abbastanza semplice che la forma che contiene più palline è proprio quella circolare. Ma si può anche verificare che il cerchio risolve pure la proprietà duale, cioè, fra le possibili figure di area assegnata, è quella di perimetro minimo. Proprietà analoghe ricondotte allo spazio con figure a tre dimensioni assegnano alla sfera un ruolo analogo a quello del cerchio. Ecco allora che alcuni classici problemi matematici di massimo e minimo si trasformano, attraverso oggetti da manipolare, in esperienze da realizzare per individuare direttamente le soluzioni e per farlo cordicelle, scacchiere, tessere triangolari e cubi, ma anche bolle o lamine di sapone, diventano attrezzi per un intelligente gioco di esplorazione e di scoperta. Per la sezione che si occupa di "visualizzazione" il finto coro di Santa Maria, costruito da Donato Bramante presso San Satiro, e una visita virtuale alla Pala Montefeltro di Piero Della Francesca, ospitata nella Pinacoteca di Brera, forniscono l'occasione di riflettere sulla valenza che lo studio geometrico della prospettiva ha avuto nell'arte. La chiesa di Santa Maria presenta un impianto a croce decussata, cioè a croce latina priva (per motivi di spazio) del quarto braccio, quello che solitamente è occupato dal coro dietro l'altare. L'idea del finto coro permise al Bramante di creare, con un magistrale uso della prospettiva, un'illusione ottica che offre all'osservatore la percezione di una profondità che va oltre la parete su cui è sapientemente rappresentato il coro. Per far comprendere con maggiore efficacia come il Bramante riuscì a trasformare un'immagine piana in un illusorio spazio tridimensionale, un plastico riproduce per metà la finta architettura prospettica del coro e nell'altra metà una ricostruzione di quello che doveva essere lo sviluppo reale del coro rappresentato. Guardando il modellino da un ben preciso punto di osservazione, le due parti, quella prospettica e quella architettonica, si ricompongono in un'unica immagine. Molti altri oggetti esposti in questa sezione mostrano come la visione può ingannare la soggettiva ricostruzione di un oggetto tridimensionale (la camera di Ames) e come, al contrario, è possibile ottenere immagini "realistiche" a partire da oggetti deformati (uno sbilenco salottino da bar sullo sfondo della Galleria). Due oggetti uguali, per esempio due mele, posti all'interno della camera di Ames possono apparire di dimensioni diverse: si tratta di un'illusione ottica prodotta deformando opportunamente pareti, pavimento e soffitto della stanza. È anche possibile, illuminando una combinazione apparentemente disordinata di simboli matematici, proiettare con un gioco d'ombre la parola Milano. Nella sezione riguardante la topologia, cioè lo studio di quelle proprietà delle figure che non variano se gli oggetti vengono deformati, troviamo gli anelli borromei. Se guardati attentamente ci si rende conto che questi tre anelli rappresentati in diverse parti della città di Milano non sono tutti uguali, ma vengono raffigurati in cinque tipologie differenti, solo apparentemente uguali, che si prestano ad una serie di considerazioni interessanti. Scopriamo così che solo per gli anelli borromei autentici, intrecciati in modo da trattenersi a vicenda, succede che, se uno dei tre anelli viene tolto, gli altri due si sciolgono e anche che non è possibile costruirli con anelli piani circolari ma ellittici, mentre gli anelli simili ai borromei possiedono invece altre peculiarità. Questi anelli aprono la strada ad una più ampia rassegna di nodi, per tentare di classificarli in base alle loro proprietà. Si scopre però che mettere ordine nel groviglio dei nodi non è un' operazione possibile, ovvero questo rappresenta per la matematica un problema aperto di cui, almeno per il momento, non si conosce la soluzione. Nella stessa sezione un'animazione permette poi di seguire cosa succede se la mappa della vecchia Milano viene trasferita su una superficie diversa da quella piana, una ciambella (in matematica toro) o un nastro di Moebius. I protagonisti della sezione che si occupa della simmetria sono invece gli specchi, che permettono in modo semplice di individuare quali fra gli edifici o gli oggetti esaminati presentano o meno simmetrie. Vengono così passati in rassegna come in un caleidoscopio alcuni mosaici, le vetrate o il pavimento del Duomo, le decorazioni di alcuni edifici, tombini, piastrelle, cancellate in ferro battuto. Utilizzando uno, due o tre specchi è inoltre possibile riconoscere il tipo di simmetria e guardarsi attorno con occhi attenti in una insolita caccia alle simmetrie. Nella parte dedicata al lavoro dei milanesi, gli interventi di alcuni cittadini che svolgono la loro attività nei settori più disparati permettono di portare allo scoperto la presenza non sempre palese della matematica. Per esempio, l'esigenza di cablare la città di Milano ha posto il problema di organizzare l'installazione di fibre ottiche per creare una rete di telecomunicazioni efficiente e razionale. In questo caso sono i grafi gli strumenti matematici di cui si serve il progettista per ottimizzare la rete, cioè minimizzare i costi riducendo il numero dei punti di diramazione e la lunghezza dei cavi da installare, e raggiungere il massimo numero di utenti senza sovraccaricare le linee. La matematica finanziaria interviene invece per risolvere problemi di tipo economico, come quello di accantonare un capitale per un certo periodo garantendolo dai rischi della svalutazione, in attesa del momento opportuno per un acquisto impegnativo quale quello di comprar casa. Per progettare invece sistemi fognari adeguati alle esigenze di una città ; occorrono informazioni attendibili sulla quantità di pioggia che vi cade in un anno cade sulla città. Considerata l'estrema variabilità del fenomeno e i molti parametri coinvolti, stavolta gli strumenti matematici adatti sono quelli del calcolo statistico e probabilistico con cui, attraverso l'elaborazione dei dati già posseduti, è ; possibile realizzare simulazioni al computer e trarne indicazioni utili su cui basare le decisioni finali. Ma chi avrebbe sospettato che anche dietro una ecografia ci sono equazioni o che nelle trame dei tessuti intervengono le matrici? Una mostra per addetti ai lavori Appare scontato che una mostra sulla matematica non può non rappresentare una valida risorsa per l'attività scolastica di insegnanti e alunni. Dai risultati di recenti ricerche condotte in ambito internazionale emerge che gli studenti italiani raggiungono in matematica competenze al di sotto del livello medio dei loro colleghi europei. Eventi significativi come quello offerto da Matemilano concorrono ad una necessaria inversione di tendenza, che passa anche attraverso la ricerca e la sperimentazione di formule innovative e più coinvolgenti, miranti a rinnovare l'interesse dei giovani per la matematica. La mostra si presta poi ad evidenziare una rilevante questione trasversale all'insegnamento della matematica, cioè quella di valorizzare il recupero dello sviluppo storico della disciplina e rivedere la sua funzione nel progetto educativo. Come per molti altri settori della scienza, ogni nuova conquista ha infatti preso le mosse dal bisogno di trovare soluzioni ai diversi problemi sorti nella vita di tutti i giorni. Gli strumenti, i metodi e i modelli matematici che allo scopo sono stati escogitati si sono poi rivelati più ricchi della realtà che li ha generati, perché il loro uso ha permesso successivamente di esplorare più a fondo le varie situazioni e di individuare soluzioni che nessuna esperienza pratica avrebbe fatto sospettare. Contemporaneamente gli strumenti matematici creati sono diventati essi stessi oggetto di studio ed elaborazione. E' così che la matematica, attraverso tentativi ed errori, si è trasformata nel tempo in una disciplina autonoma, che ha assunto sempre più quella dimensione astratta che la caratterizza. E' opinione di molti che sia proprio un insegnamento della matematica che parte dal risultato finale, cioè una matematica estremamente formalizzata e percepita come "non utile", ad alienare le simpatie di molti per la disciplina ed ad allontanarli dal suo studio. Fortunatamente fra gli insegnanti si sta diffondendo sempre più la consapevolezza che per portare gli studenti a determinati livelli di astrazione è necessario passare prima dal concreto di ciò che ci sta attorno. Un ripensamento dei contenuti della disciplina e della sua didattica che punti ad accorciare la distanza fra ciò che si studia a scuola e tutto quello che ha a che fare con la quotidianità va nella direzione di ridare senso ai molti concetti e alle tante procedure che uno sterile e complicato formalismo ha invece svuotato di significati. In altre parole una matematica con i piedi ben poggiati (ma non piantati) a terra ha una solida base da cui poter spiccare il volo verso orizzonti più elevati. Matemilano centra pienamente questo obiettivo e costituisce un'operazione culturale originale, accattivante e istruttiva rivolta a tutti, ma che agli addetti ai lavori offre interessanti proposte e pone tanti interrogativi su cui riflettere. La mostra, come già detto, resterà aperta a Milano fino al 14 gennaio 2004 ma c'è da aspettarsi, e anche da augurarsi, che la ritroveremo presto, opportunamente modificata, in qualche altra città.